La fórmula d'Euler

Si es fes una enquesta entre el col·lectiu científic amb la pregunta de quin ha estat el millor matemàtic de la història, segurament Leonhard Euler (1707-1783) tindria molts números per quedar entre els tres primers. I és que entre fórmules, teoremes i rectes, el nom d’Euler apareix en totes les branques de la matemàtica. Va escriure 886 obres entre llibres i articles de tal manera que l’Acadèmia de les Ciències de Sant Petersburg necessità 47 anys després de la seua mort per poder acabar de publicar tota la seua obra. Algunes les va haver de dictar perquè es quedà cec, però la seua memòria era tan prodigiosa que era capaç de recitar l’Eneida o les actes de l’Acadèmia de les Ciències de la qual ell era el secretari. I amb tot això tingué encara temps de casar-se dos cops i tenir 13 fills.

Avui descobrirem el que s’anomena la fórmula d’Euler. Agafem una capsa de sabates o un bric de llet i comptem les cares, ens en surten 6, no? Ara comptem les arestes, és a dir les vores de les cares, i ens en surten 12. I per últim els vèrtexs, que n’hi ha 8. Si ara a les cares li restem les arestes i sumem els vèrtexs ens surt 6-12+8=2. Prenem ara una altra forma geomètrica, per exemple un envàs de Toblerone gegant d’aquells que baixem d’Andorra i repetim el mateix recompte, aquest cop ens surten 5 cares, 9 arestes i 6 vèrtexs i fem la mateixa operació 5-9+6=2. També dona 2. I si ara ens imaginem una piràmide egípcia? La piràmide té 5 cares comptant la base, 8 arestes i 5 vèrtexs, i 5-8+5=2, també surt dos. Doncs la fórmula d’Euler ens diu justament això, que si al número de cares li restem les arestes i li sumem els vèrtexs donarà dos en aquests tipus de figures anomenats políedres.

Per últim, imagineu-vos les pilotes de futbol de les d’abans. Suposo que us haureu fixat que està dividida en pentàgons i hexàgons, en concret hi ha dotze pentàgons i vint hexàgons; com en cada vèrtex hi van a parar tres arestes hi ha 60 vèrtexs i 90 arestes i per tant 32-90+60=2. Matemàticament a aquesta figura se l’anomena icosaedre truncat.