El perímetre de la costa

Aquest mes de juliol he tingut l’oportunitat de gaudir d’uns dies de vacances pel nord-est de l’illa de Sardenya. Aquella zona té una costa abrupta, buida de blocs d’apartaments i d’hotels d’arquitectura horrible i plena de paisatges preciosos inaccessibles en cotxe i als quals només es pot arribar a peu o en barca. Des del petit calador de Baia Sardinia es pot passejar per un camí de ronda que ressegueix l’escarpada costa de la zona fins a l’entrada de la badia d’Arzachena. Mentre caminava observant com pedres, pedrots, roques i rocots de totes mides entraven en contacte amb l’onatge del mar dibuixant el perímetre de la costa sarda em va venir al cap l’article

How long is the coast of Britain? (Quant mesura la costa de la Gran Bretanya?) que el matemàtic Benoit Maldelbrot publicà a la revista Science l’any 1967. Mesurar longituds ha estat un problema històric de les matemàtiques des de l’antiguitat: l’alçada de la piràmide de Keops (Tales de Milet, s. IV aC), el radi de la Terra (Eratòstenes, s. III aC), la distància de la Terra a a Lluna (Hiparc de Nicea, s.II aC)... i les longituds frontereres entre països. A col·leccionar dades sobre fronteres s’hi dedicà el matemàtic anglès Lewis Fry Richardson (1881-1953).

En un article seu que es va publicar anys després de la seua mort hi escrivia que les mides de les fronteres entre països depenien del país que feia la mesura. Per exemple, la frontera entre Bèlgica i Holanda mesurava 380 km segons els holandesos i 449 km segons els belgues. Richardson demostrà que tot depenia de la llargada del “regle” amb què es mesuraven aquestes longituds.

Imagineu que voleu mesurar el perímetre de Catalunya, si ho fem amb un “regle” de 20 km farem uns segments de 20 km cadascun que aproximaran aquest perímetre, però si fem servir un “regle” més curt, de 5 km per exemple, les línies que podrem fer aproximaran molt millor el càlcul del perímetre de Catalunya. Així que, com més petit és el “regle” que es fa servir, el valor de la longitud mesurada és més gran. Aquest efecte se l’anomenà efecte Richardson.

A Richardson, la comunitat científica no se l’escoltà gaire, però Benoit Mandelbrot sí que li va prestar atenció i va escriure les seues reflexions sobre el tema en l’article anteriorment esmentat sobre la mesura de la longitud d’una costa. Mandelbrot arribà a la conclusió que la geometria habitual i la noció comuna de longitud no té sentit aplicar-la en el càlcul de perímetres de superfícies tan irregulars.

Aquest problema suposà la consolidació d’una nova geometria anomenada geometria fractal apropiada per a l’estudi de les formes naturals i que Mandelbrot proposà l’any 1975 en el llibre Les objects fractals: forme, hasard et dimension (Els objectes fractals: format, atzar i dimensió) i que s’ha convertit en un clàssic de la bibliografia matemàtica.