Un 2022 admirable
Quadrat màgic.
Ja som al 2022, un any en què una de les xifres es repeteix tres vegades tal com va passar el 1999 i el 2000, així que molts de nosaltres ho haurem viscut tres cops, però el proper any que ens ho trobarem serà el 2111 que no compto pas gaire a ser-hi. 2022 no és un nombre primer, però sí que és la mitjana aritmètica del primer anterior (2017) i del primer posterior (2027).
2022 és el resultat de multiplicar els nombres primers 2×3×337. En teoria de nombres els nombres que són productes de tres primers s’anomenen nombres esfènics. No fa gaire vam viure un trienni esfènic –2013, 2014 i 2015– però el següent trienni esfènic no arribarà fins al 2665, 2666 i 2667. Si sumem les xifres de la descomposició del 2022 en factors primers obtenim 2+3+3+3+7=18, que és tres vegades la suma dels dígits del 2022: 2+0+2+2=6. Els nombres amb aquesta propietat s’anomenen 3-Smith (cognom del cunyat del matemàtic Albert Wilansky), i fins el 2130 no hi haurà un altre any 3-Smith, així que cal aprofitar-ho.
Un nombre se diu que és harshad (de les paraules sànscrites harsa i da, que volen dir donar alegria) o de Niven si es pot dividir de manera exacta entre la suma dels seus dígits. El concepte el va definir el matemàtic indi Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986) i el va popularitzar el matemàtic canadenc Ivan M. Niven (1915-1999) en un congrés de teoria de nombres. Si el 2022 el dividim entre la suma dels seus dígits 2022/(2+0+2+2)=337 que com dona exacte podem dir que 2022 és harshad i dona alegria, que ja ens convé. Com que el resultat d’aquesta divisió és 337, que és un nombre primer, aleshores 2022 es un nombre de Moran, conjunt proposat pel matemàtic australià Bill Moran. El 2022 escrit en base 5 és 31042, de tal manera que conté totes les xifres possibles en aquesta base (0, 1, 2, 3, 4) un sol cop i aleshores es diu que 2022 està equilibrat digitalment en la base 5.
Els divisors de 2022, és a dir els números entre els quals podem repartir el 2022 en parts iguals, són 1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011 i 2022. En total són 8 divisors, cosa que és normal en els nombres esfènics. Ara, amb els anomenats divisors propis –tots excepte el 2022– fem la següent operació 1+2+3-6+337+674+1011 i resulta que dona 2022. Fixem-nos que hem sumat tots els divisors propis excepte un que l’hem restat. Doncs bé, quan un nombre compleix aquesta propietat, que és suma dels seus divisors propis però amb un d’ells en negatiu se l’anomena nombre admirable. De fet no és complicat trobar nombres admirables, si es multiplica per 6 qualsevol nombre primer major que 3 el resultat és un nombre admirable. Tanmateix, bon i admirable 2022 tingueu!
Quadrat màgic. No fa gaires setmanes en aquesta mateixa secció parlàvem dels quadrats màgics. Aquest de la figura és un quadrat màgic d’ordre 4 amb el nombres del 498 al 513… sabríeu trobar quina característica té aquest quadrat màgic?
