Apilant taronges

Quan anem a comprar a la botiga de queviures o al súper veiem que els brics, les capses en les quals s’inscriuen llaunes de conserva de base el·líptica o circular, les capses de galetes i molts més productes que tenen forma ortoèdrica es poden posar un sobre l’altre de forma ordenada en els prestatges. Això també succeeix amb les llaunes que són cilíndriques, com les d’olives, xampinyons, refrescos… tot i que entre els cilindres queda un espai buit són fàcils d’apilar un sobre l’altre.

Però quan anem a la fruiteria veiem que és molt complicat apilar melons, síndries o ara que és el temps, les taronges. És fàcil veure caure taronges rodolant (amb les síndries per sort no passa tant) i és relativament complicat tornar a posar la taronja al seu lloc sense que torni a rodolar o en rodoli alguna altra. La solució que han adoptat els encarregats i encarregades de fruiteria per intentar tenir les taronges amb la màxima estabilitat possible, ha estat posar-les en forma de piràmide de base quadrada. L’any 1611, el conegut matemàtic Johannes Kepler, en el llibre El floc de neu de sis vèrtexs, ja es va dedicar a estudiar les piles de taronges preguntant-se de quina manera calia posar-les per tal de perdre el menor espai possible entre elles, ja que entre les taronges queden forats buits.

Fent aquest tipus d’apilament amb les taronges del mateix pis tangents unes a unes altres i aprofitant aquests espais per posar les taronges del pis de sobre s’aconsegueix una densitat de taronges del 74% (valor que apareix de dividir el número pi entre l’arrel quadrada de 18). Això vol dir que es desaprofita un 26% d’espai entremig de les taronges, un espai que no es perd quan tenim caixes ortoèdriques.

Si les taronges les llancéssim a l’atzar sobre una taula aconseguiríem una densitat del 65%, un 9% més d’espai desaprofitat que si les posem ben col·locadetes a la piràmide de la fruiteria. Kepler no va demostrar els seus càlculs i la conjectura la va recollir David Hilbert en la famosa llista dels 23 problemes matemàtics per resoldre durant el segle XX.

Es va haver d’esperar més d’un segle per veure-la resolta: el 2006 Thomas Hales va fer una demostració utilitzant una equació amb 200 variables, 2000 restriccions, 5000 situacions diferents i 3 Gb de codi. Els experts només estaven un “99% segurs” que la demostració era vàlida… El 2014 Hales amb un nou programa va corroborar la demostració.

Una de les preguntes que ens podem fer és: quantes taronges hi ha apilades si aquesta piràmide té N pisos? Per fer la deducció comencem pel pis de més amunt, on si ningú se l’ha quedat hi haurà una taronja. Al penúltim pis hi haurà 4 taronges perquè al forat que queda al mig s’hi posa la taronja de dalt de tot.

Un pis més avall hi trobarem 9 taronges perquè als quatre forats que queden entremig d’aquestes taronges s’hi encabeixen les 4 del pis de sobre; i si continuem baixant pisos contarem 16 taronges, 25 taronges, 36 taronges… adonant-nos que tots els números que van sortint són quadrats perfectes, és a dir, els nombres naturals 1, 2, 3, 4, 5, 6… elevats al quadrat (multiplicats per si mateixos) 1, 4, 9, 16, 25, 36… Per tant el total de taronges serà la suma d’1+4+9+16+25+36+... i la suma dels N primers números al quadrat es pot calcular fent N*(N+1)*(2N+1)/6.

.