Richard Dedekind

El 12 de febrer de 1916, avui fa 107 anys, moria a Brunswick (Alemanya) el matemàtic Richard Dedekind. Procedent d’una família de professors, el 1855 Dedekind es va doctorar en matemàtiques a la universitat de Göttingen sent l’últim alumne de doctorat que va tenir l’eminent Karl F. Gauss, considerat per a molts el millor matemàtic de la història i que moriria tres anys després.

Dedekind va fer força contribucions significatives a les matemàtiques que avui figuren als llibres de text. La correspondència epistolar que mantingué amb el seu amic Georg Cantor pot ser considerada com la base de la teoria de conjunts; de fet, Cantor i Dedekind són considerats els pares de la matemàtica moderna.Dedekind va treballar en inducció matemàtica, en la teoria del nombres algebraics (solucions d’equacions polinòmiques amb coeficients enters) i en àlgebra abstracta (va definir els conceptes matemàtics d’anell i d’ideal), però sobretot és conegut per la seua teoria axiomàtica dels nombres i la relació amb la teoria de conjunts finits i infinits.

L’estudi rigorós pels nombres va venir impulsat per la seua idea que hi havia “manca d’una base realment científica per a l’aritmètica”.Dedekind sostenia que “els nombres són un invent de l’ànima humana” i es va proposar explicar-los en dos llibres de títol prou significatiu: Què són i per a què serveixen els nombres? i Continuïtat i nombres irracionals. En aquest segon llibre hi apareix l’invent més conegut del matemàtic alemany: l’anomenat tall de Dedekind.

Si pensem en l’arrel quadrada de dos, és un número que té infinites xifres decimals no periòdiques, aquests nombres s’anomenen irracionals (en canvi, els racionals tenen un número finit de decimals o bé decimals periòdics). Una aproximació racional a l’arrel de dos és 1.4142 utilitzant quatre decimals, o 1.41421 utilitzant-ne cinc o 1.414214 amb sis decimals o 1.4142136 o 1.414213562 amb nou decimals.

Quants decimals necessitem per arribar al valor de l’arrel de dos? A mesura que anem afegint decimals ens anem apropant al valor exacte de l’arrel de dos però realment no podem arribar mai al valor exacte. A més ens podem atansar a l’arrel dos amb nombres racionals per l’esquerra (números una mica més petits) i nombres racionals per la dreta (números una mica més grans).

D’aquesta manera Dedekind té la idea de pensar un nombre irracional com un parell de conjunts formats pels infinits nombres racionals de l’esquerra i pels infinits nombres racionals de la seua dreta que cada vegada s’apropen més i més i més al nombre irracional. I d’aquesta manera també donem continuïtat a la representació dels nombres sobre una recta, en què cada punt és un nombre i cada nombre és representat per un punt.