El problema dels 17 camells
En un altre problema es proposa repartir 19 corders sense tallar-ne cap de tal manera que a un hereu li toqui la meitat (1/2), a un altre una quarta part (1/4) i a l'altre una cinquena part (1/5). Com ho resoldríeu?
Avui fa dos diumenges, el company Estanis Fons, en el seu article en aquesta mateixa secció de ciència, feia referència al problema dels 17 camells. Aquest és un problema històric en la matemàtica recreativa que podem trobar enunciat amb camells, cavalls, vaques, monedes i múltiples artefactes susceptibles de ser heretats. Per això també es coneix com el problema de l’herència.
De manera senzilla podem resumir la qüestió amb el següent enunciat. Un home mor i deixa una herència de disset camells que s’ha de repartir entre els seus tres fills de manera que a un li ha de deixar la meitat (1/2), a un altre la tercera part (1/3) i a l’últim la novena part (1/9).
Els tres germans poden complir la voluntat del seu pare?Fent els càlculs observem que la meitat de 17 és 17/2=8,5; la tercera part 17/3=5,666… i la novena part 17/9=1,888… amb la qual cosa sembla ser que per fer aquest repartiment caldria esbocinar els camells i els hereus volen els camells sencers. Del primer que podem adonar-nos és que 17 no és múltiple ni de 2, ni de 3 ni de 9 i per tant no podem fer divisions exactes del 17 fent aquestes particions (de fet el 17 és primer).
Per tant, per poder fer el repartiment necessitaríem un número de camells que el puguem dividir entre 2, 3 i 9, és a dir, que sigui múltiple de 2, 3 i 9. I el múltiple comú més petit de 2, 3 i 9 és 18.
Per tant amb 18 camells podríem fer el repartiment, així que als tres germans només els hi caldria demanar un camell prestat. Amb el divuitè camell prestat vegem com fan el repartiment: 18/2=9; 18/3=6 i 18/9=2 amb la qual cosa ara sí que els tres germans tindrien un nombre natural de camells i a més 9+6+2=17 i poden tornar el divuitè camell a qui bonament els hi ha deixat.
Herència repartida. Aquesta solució la va proposar el matemàtic italià Niccolo Fontana, conegut com a Tartaglia, al segle XVI.Però què ha passat aquí? Amb 17 camells no podien repartir l’herència i amb 18 sí i n’ha sobrat un? Sembla paradoxal però la qüestió és que la suma del repartiment proposat pel pare no dona la unitat 1/2+1/3+1/9=17/18=0,944444… que és una mica menys de la unitat.
Això vol dir que el pare al testament no va repartir-ho tot sinó que es va deixar 1/18 part per repartir, quantitat que correspon a 0,9444… camells. Per últim, cal dir que el repartiment proposat amb l’ajut del camell addicional no compleix les condicions de l’herència al peu de la lletra perquè realment al germà que li deixa 9 camells li està deixant una mica més de la meitat: 9/17=0,5294…
