La concentració de la mesura

“De manera contraintuïtiva, quan un procés depèn d’una sèrie de diferents fonts d’aleatorietat, en lloc de complicar-se, és possible que els diferents factors aleatoris es compensin entre si i produeixin resultats més previsibles.” Així explica l’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres el fenomen probabilístic de la concentració de la mesura, un fenomen estudiat pel matemàtic francès Michel Talagrand i pel qual (entre altres àrees d’estudi més) ha estat guardonat amb l’Abel Prize 2024, l’equivalent en matemàtiques del Nobel i del qual ja n’hem parlat en anteriors articles.

Per entendre bé això de la concentració de la mesura pensem en el llançament d’una moneda a l’aire. Si la moneda no està trucada i la llancem un sol cop tenim un 50% de possibilitats que surti cara i un 50% que surti creu.

Si la llancem dos cops, la probabilitat que surti almenys una cara és del 75% i que en surtin exactament dos és del 25%. Amb tres llançaments hi ha un 87,5% de probabilitat que surti almenys una cara, i un 50% que surtin almenys dos cares.

A mesura que anem augmentant el nombre de tirades la cosa es va complicant. Amb deu tirades, la probabilitat que surtin 4, 5 o 6 cares és del 65,6%.

Amb 15 tirades, la probabilitat d’obtenir 6, 7, 8 o 9 cares és del 69,8%; en canvi la probabilitat d’obtenir-ne 1, 2 o 3 és només de l’1,75%. Amb 100 llançaments hi ha una probabilitat del 72,9% d’obtenir entre 45 i 55 cares.

Amb 500 tirades la probabilitat d’obtenir entre 235 i 265 cares és del 83,4% però gairebé nul·la si volem obtenir-ne més de 300. Gràcies a la concentració de la mesura podem estimar que si llancem la moneda 1.000 vegades hi ha una probabilitat del 99,7% que surtin entre 450 i 550 cares, mentre que la probabilitat que surtin més de 600 cares és de 0,000005%.

Llançar una moneda és un procés aleatori els resultats del qual es distribueixen segons una corba anomenada campana de Gauss, on tenim probabilitats altes en la part central i molt baixes en els extrems. Tot i que aquestes distribucions han estat estudiades des de fa segles i modelitzen moltíssimes situacions quotidianes –és coneguda com a llei normal–, Talagrand va demostrar un conjunt de desigualtats que intenten explicar de la forma més precisa possible què succeeix en aquestes situacions a mesura que ens allunyem del centre.

Amb aquests estudis els matemàtics volen entendre la relació que hi ha entre els resultats individuals aleatoris i el comportament conjunt quan aquest esdeveniment es repeteix, de tal manera que esdeveniments aleatoris poden conduir a resultats molt predictibles encara que cada resultat sigui impossible de predir.