Equacions de Navier-Stokes

Fa unes setmanes el canal de divulgació d’AEMET, l’Agència Estatal de Meteorologia que durant aquells dies va estar en el punt de mira d’alguns polítics, explicava el funcionament dels models meteorològics i el procés científic i tècnic en el qual es basava l’elaboració de les prediccions del temps. Evidentment, i ja ho hem comentat en alguns articles, la quantitat de matemàtiques que hi ha en aquest estudi són immenses: derivades, equacions, probabilitats, sistemes dinàmics… En l’article d’avui ens fixarem en la famosa equació de Navier-Stokes.

I per què és tan famosa en el món matemàtic? Doncs perquè trobar les solucions d’aquestes equacions és un dels problemes del mil·lenni i està recompensat amb un milió de dòlars atorgats pel Clay Mathematics Institute, del qual també en vam parlar en un altre article.

L’atmosfera que ens envolta és un fluid en rotació i estudiar el moviment dels fluids amb totes les magnituds que hi intervenen (temperatura, velocitat, densitat, viscositat…) ha estat sempre un problema complicat per als matemàtics. L’any 1755, el gran Leonhard Euler, que deu ser el matemàtic que més cops ha aparegut en aquesta secció, ja va escriure sobre el tema l’article Principis generals del moviment dels fluids.

També s’hi van posar els germans Johann i Daniel Bernoulli i Augustin Cauchy, però els que s’han endut la fama a la posteritat pel seu estudi han estat els matemàtics Claude-Louis Navier i George Gabriel Stokes. Ambdós van arribar a aquestes equacions de forma independent.

En un principi Navier va fer algunes errades matemàtiques que finalment va corregir. Stokes, vint anys després, també va fer bé les matemàtiques.

Els dos doncs, van arribar a la mateixa conclusió per separat.

Aquestes equacions s’anomenen en derivades parcials (EDP) i, en matemàtiques, quan intervenen les derivades vol dir que estem estudiant algun canvi, en aquest cas el canvi al llarg del temps de les velocitats entre diferents punts del fluid en unes condicions concretes. Les equacions per si soles tenen poca gràcia, el que és més interessant és que resoldre aquestes equacions ens ajudaria a entendre com flueix l’aigua, l’aire o el flux sanguini, entre altres.

Com us podeu imaginar, resoldre-les és una cosa molt complicada ja que un fluid és problemàtic per ell mateix. Només cal que us fixeu en com surt l’aigua quan obrim poc l’aixeta o quan la fem girar al màxim.

O en les onades de la platja, com de diferents poden ser només en una estona. El matemàtic francès Jean Leray va demostrar que, de solucions, n’existeixen, però una altra cosa és trobar-les.

Gràcies a l’ús d’ordinadors hem aconseguit aproximar-nos-hi. La idea és dividir l’espai que volem estudiar en moltes regions molt petites (malla computacional) i calcular la velocitat en intervals de temps molt i molt petits en els vèrtexs d’aquesta malla, com més petits siguin els intervals de temps en què calculem aquesta velocitat més ens aproximem al seu ritme de canvi real.

Per això la computació cada cop necessita més temps de càlcul i més memòria de processament. Tanmateix, l’enginyeria aeronàutica i la meteorologia les estan utilitzant amb molt d’èxit.