El model SIR

Aquest any 2020

, quan a finals de desembre fem els típics resums de l’any, serà recordat com l’any del coronavirus. Les notícies sobre aquestes malalties de caràcter pandèmic acostumen a generar una alarma sovint exagerada en la societat. Tanmateix, en qualsevol malaltia d’aquest tipus les autoritats sanitàries fan les seues prediccions i el seu seguiment per conèixer en quin estat de propagació es troba. A més sabem que hi ha epidèmies que tenen vacunes i ens diuen en quina època ens hem de vacunar. Doncs bé, tot això es pot predir a partir de models matemàtics que es van començar a desenvolupar a inicis del segle XX.

El models més coneguts són els que es basen en equacions diferencials –equacions on intervenen funcions matemàtiques i les seues derivades– i que tenen en compte bàsicament: la població susceptible S(t) de poder contraure una malaltia, la població infectada I(t) per la malaltia i la població recuperada R(t) que ha patit la malaltia però que ja no la transmet. A partir d’aquí es van construint diferents models que també poden incloure els individus exposats E(t) que porten la malaltia en fase d’incubació o els portadors M(t) que poden portar la malaltia tot i que no la desenvolupin. A partir de la relació de totes aquestes variables amb les probabilitats de contagi, de recuperació, taxes de naixement i taxes de defunció apareixen els models SI, SIR, SEIR, MSIR, MSEIR, que reben els noms depenent de les variables utilitzades en els estudis. Ja veuen que els matemàtics no es trenquen pas gaire el cap posant noms a les coses.

El model SIR és relativament senzill d’entendre. Va ser formulat el 1927 pel metge Anderson Gray Mc Kendrick (1876-1943) i el químic William Ogilvy Kermack (1898-1970). Sense fer ús de fórmules i seguint el gràfic que acompanya l’article el podem intentar explicar de la següent forma: al començament la població està formada només per susceptibles i no hi ha ni infectats ni recuperats. Suposem que en un instant de temps determinat comencen a aparèixer infectats, per tant el valor I(t) augmentarà i els susceptibles S(t) disminuiran perquè alguns ja han estat infectats. En l’inici de l’epidèmia el número I(t) d’infectats augmenta molt ràpidament i comença a augmentar també el nombre de recuperats R(t), tot i que no augmenta de la mateixa forma. Com el número de susceptibles S(t) ha disminuït molt perquè o bé ja s’han infectat o bé perquè ja s’han recuperat, això provoca un decreixement dels infectats I(t) mentre que el nombre de recuperats R(t) continua creixent. En aquest moment ja s’ha arribat al màxim d’infectats I(t) perquè passem d’un creixement a un decreixement. Finalment, a mesura que passa el temps el nombre total d’infectats I(t) i de susceptibles de ser infectats S(t) tendeix a zero.

I què s’aconsegueix amb una campanya de vacunació? Amb la introducció d’una vacuna el model SIR varia perquè s’aconsegueix disminuir el nombre d’individus susceptibles S(t) ja que estan immunitzats. Aquest efecte és clau perquè si s’aconsegueix reduir el nombre de susceptibles podrem reduir el nombre d’infectats. Per tant les matemàtiques diuen que vacunar redueix el risc d’epidèmia.