El fractal de Koch

L’any 1906 el matemàtic suec Helge von Koch publicà un article de títol no gaire atractiu: Un mètode geomètric elemental per a l’estudi de determinades qüestions de la teoria de les corbes planes. Tot i que no ho pugui arribar semblar aquest article amaga la construcció d’una bonica i nadalenca figura.

Considerem un segment horitzontal de longitud 1 i el dividim en tres parts iguals de longitud 1/3. Sobre la part del mig del segment construïm un triangle equilàter de costats 1/3. En aquest moment ens queda una línia formada per quatre segments de longitud 1/3 que mesura 4/3. A continuació prenem cadascun d’aquests quatre segments i repetim el mateix procés que hem realitzat anteriorment, és a dir, construïm un triangle equilàter sobre la part central de cadascun dels quatre segments. Ara tenim una nova figura formada per setze segments de longitud 1/9 i una longitud total de línia de 16/9. Tornem a repetir el mateix procediment sobre cadascun dels setze segments dividint-los en tres parts iguals i construint un triangle equilàter en la part central. La nova figura tindrà seixanta-quatre segments de longitud 1/27 i una longitud total de línia poligonal de 64/27… i d’aquesta manera anem repetint el procés fins que la punta del llapis o del bolígraf ens ho permeti, ja que cada cop les mides seran més petites. Si ens fixen veiem que en cada iteració la longitud dels segments (1/3, 1/9, 1/27…) és una potència d’1/3, és a dir, (1/3)n i la longitud total de la línia poligonal (1, 4/3, 16/9, 64/27…) és una potència de 4/3, (4/3)n. És a dir, la mesura de cadascun dels costats de la figura tendeix a zero però la longitud total de la corba tendeix a infinit, és l’anomenat efecte Richardson.

Si aquestes iteracions que hem explicat en un segment de recta les fem en cadascun dels costats d’un triangle equilàter obtenim la nadalenca corba de Koch coneguda com el floc de neu de Koch. Una figura que, mentre el perímetre tendeix a infinit l’àrea s’estanca en el valor 0,6928… un perímetre infinit tanca una àrea finita!

Aquesta corba de Koch, juntament amb altres com la corba de Hilbert o la corba de Peano, van suposar uns primers exemples d’estructures autosimilars, és a dir, figures en les quals si hi féssim un zoom en una part ho veuríem com el conjunt original. Aquests tipus de corbes poligonals són força interessants per mesurar longituds de costes escarpades. L’article How long is the coast of Britain? que el matemàtic Benoit Maldelbrot publicà a la revista Science l’any 1967 suposà l’ús de tot això i el naixement de l’anomenada geometria fractal.