Brouwer i el remolí de cabell

El 27 de febrer de 1881, avui fa justament 141 anys, va néixer a Rotterdam el matemàtic Luitzen Egbertus Jan Brouwer. A l’hora de pentinar-se suposo que Brouwer devia tenir els mateixos problemes que tenim la resta de mortals i que barbers, perruquers i perruqueres intenten solucionar i dissimular de la millor i més professional manera possible. Aquest problema que afectava la closca de Brouwer i la de tothom que encara li quedi una mica de pèl en aquella zona és el remolí que es forma amb el cabell i que no hi ha manera de fer-lo anar per allà on volem.

Brouwer es va especialitzar en topologia, branca de les matemàtiques que estudia les formes de les figures sense tenir en compte les mides, i des del 1909 ocupà la seua plaça a la Universitat d’Amsterdam. De fet, no és gens agosarat considerar Brouwer com un dels grans desenvolupadors de l’estudi de la teoria de la topologia, ja que fins a l’inici de la seva carrera com a matemàtic aquesta teoria es trobava en un estat força primitiu.

El principal resultat, i potser el més conegut al qual va arribar Brouwer, va ser el teorema del punt fix de Brouwer. Els punts fixos davant una sèrie de transformacions feia anys que s’estudiaven en matemàtiques perquè tenen molta importància a l’hora de resoldre certs tipus d’equacions en les quals és complicat trobar solucions. A grans trets, un punt fix no és res més que un punt que és invariant davant d’una transformació. Vegem un exemple senzill. Suposem la transformació en què a qualsevol número li associem el seu quadrat (és a dir, multiplicar per ell mateix). Aleshores el 2 es transformarà en un 2×2=4 i el 3 en un 3×3=9. Però en canvi l’1 quedarà fix ja que 1×1=1 o el 0×0=0, i direm que el 0 o l’1 són punts fixos d’aquesta transformació. Aquest teorema té extensions en moltes altres situacions i això ens porta fins al teorema de Poincaré-Brouwer conegut entre la comunitat matemàtica amb l’inquietant nom del teorema de la bola peluda.

Però per què se’l coneix així? Suposem que el nostre cap té forma esfèrica i que està totalment recobert de cabell. Aleshores la pregunta és: ens podem pentinar de tal manera que tots els pèls estiguin orientats cap el mateix sentit? Provem-ho de fer i veurem que no hi ha una forma perfecta de pentinar-nos d’aquesta manera, sempre ens quedarà un remolí a la coroneta on els cabells quedaran orientats de forma diferent. I això és conseqüència del teorema de la bola peluda que diu que un camp de vectors (pèls) sobre una esfera no és orientable.

El teorema té aplicacions més serioses, per exemple en climatologia. El teorema de la bola peluda ens diu que en tot moment ha d’existir algun punt de la Terra on no fa vent ja que aquest punt de vent zero serà l’ull d’un cicló o un anticicló, com el remolí del cap. També, combinat amb la teoria de jocs, s’utilitza per al disseny d’estratègies d’equilibri o en circulació de fluids.

No podem orientar tot el pèl Podem pensar un cap pelut com una esfera que no es pot pentinar sempre mantenint el mateix sentit. S’explica que Brouwer s’inspirà remenant una tassa de cafè i veient que a la part central hi quedava un remolí en el qual el punt central no canviava de lloc