Una piràmide de Sierpinski

En un parell d’ocasions ja he escrit en aquesta secció sobre la geometria fractal, aquesta nova geometria desenvolupada sobretot pel matemàtic Benoît Mandelbrot i que és una geometria de formes irregulars i que ens serveixen molt bé per descriure la natura, molt millor que els rectangles i les circumferències perfectes que coneixem molt bé.

El matemàtic polonès Waclaw Sierpinski (1882-1969) va introduir el 1915 l’objecte fractal conegut com a triangle de Sierpinski. Aquesta forma fractal es construeix a partir d’un triangle equilàter que es divideix en quatre triangles equilàters unint els punts mitjans de cada costat.

Aleshores s’elimina el triangle que queda al mig i es repeteix el mateix procés en cadascun dels tres petits triangles equilàters que ens queden dins del triangle equilàter inicial.Si suposem que el triangle equilàter inicial té àrea 1, un cop hem fet la primera divisió en quatre triangles iguals (àrea 1/4) i hem tret el del mig ens queda una figura de tres triangles d’àrea total 3/4. Quan dividim els tres triangles obtinguts en quatre triangles iguals i traiem el del mig de cadascun d’ells, ens apareixen 9 triangles més petits d’àrea 1/16 i multiplicant queda una àrea 9/16≈0,56.

Repetint l’operació obtenim 27 triangles d’àrea 27/64≈0,42, i al següent pas 81 triangles amb àrea 81/256≈0,32, i al següent 243 triangles d’àrea 243/1024≈0,24… i així successivament. És senzill de veure que cada cop que fem la divisió dels triangles ens queden el triple de triangles que en el pas anterior, és a dir, el nombre de triangles es va multiplicant per 3.

Però si ens fixem en l’àrea del triangle de Sierpinski, cada cop que fem una nova divisió en triangles l’àrea queda multiplicada per 3/4 o, el que és el mateix, per 0,75. Cada cop l’àrea és més petita i com que 0,75 multiplicat per ell mateix moltes i moltes vegades s’aproxima a zero, l’àrea del triangle de Sierpinski també s’aproximarà a zero.

Si ens parem a observar què succeeix amb el perímetre (la suma dels costats) del triangle de Sierpinski, per fer-ho fàcil pensem en un triangle equilàter de costat 1, aleshores el perímetre és 1+1+1=3. Després de la primera divisió cada triangle té costat 1/2 i el perímetre total és 9*1/2=4,5.

En el següent pas, els triangles generats tenen costat 1/4 i el perímetre és 27*1/4=6,75… de tal manera que el perímetre cada cop es va multiplicant per 1,5 i si multipliquem un número per 1,5 moltes i moltes vegades aquest número es fa molt i molt gran i tendeix a infinit. Així que, en el triangle de Sierpinski, mentre la seua àrea tendeix a zero el seu perímetre tendeix a infinit, una d’aquestes coses rares que té la geometria fractal.

És fàcil pintar-lo però difícil resseguir-lo amb un boli. Si el triangle de Sierpinski el pensem en la seua versió tridimensional, obtindrem el tetraedre o la piràmide de Sierpinski, un objecte de connotacions molt nadalenques.

Així que aprofito aquest objecte fractal per desitjar als amics i amigues lectores que tingueu unes bones i, per què no, matemàtiques festes!