Un afortunat 2023

Ja som al 2023, un número que la seua descomposició en primers és 7×17×17 amb molts 7 per aquí que si els concatenem formen un palíndrom (capicua) 71717. Per als pitagòrics el 7 era símbol de la virginitat perquè no es pot dividir un cercle en 7 parts iguals amb regle i compàs, però els pitagòrics estaven una mica arruixats. També obtenim un palíndrom si sumem 2023 al seu revers 3202: 2023+3202=5225.

La suma dels dígits del 2023 és 2+0+2+3=7 que és un dels divisors de 2023, i, per tant 2023 és un nombre de Harshad, però tampoc té molt mèrit perquè el 2022 també ho era. Harshad prové de les paraules sànscrites harsa i da, que volen dir donar alegria, i poca alegria ens va donar el 2022 amb els preus.

A veure si el 2023 s’ho pren més seriosament, això del Harshad. Tanmateix podem estar contents perquè el 2023 és un dels nombres de la sort o nombre afortunat, que són els nombres que queden després de realitzar un algoritme eliminant els que estan en posició parella primer, després eliminant dels que queden els que estan en posicions múltiple de 3 i així successivament.

Penseu que fins el 2031 no tornarem a tenir un any número de la sort. A veure si ho podem aprofitar. Aquests números s’han estudiat perquè tenen propietats similars als nombres primers i van ser proposats, entre d’altres, per Stanislaw Ulam, de qui vam parlar en aquesta secció el mes de maig amb la seua espiral. 2023 és l’únic nombre que és igual a la suma de les seves xifres multiplicada pel quadrat de la suma dels quadrats de les seves xifres, on la suma de les seves xifres i la suma dels quadrats dels seus dígits també són els seus factors primers.

Aquesta frase que potser s’entén ben poc així escrita ens ve a dir que 2023=(2+0+2+3)×(22+02+22+32)2=7×172. Jo això ho trobo fantàstic.Però per aigualir la festa resulta que 2023 és un nombre odiós.

Un nombre s’anomena odiós si la suma dels seus dígits en binari és senar i 2023 en binari és 11111100111 que la seua suma és 9 i, per tant, senar. Aquest nombres van ser proposats pels matemàtics canadencs Lambek i Moser l’any 1959 en l’article On some two way classifications of integers.

La suma dels divisors de 2023 és 1+7+17+119+289+2023=2456 que és un nombre que no té ni el 7 ni el 17 com a factor primer (que si els té el 2023) i els nombres que tenen aquesta propietat s’anomenen duffinians proposats per Richard Duffy el 1979. Per tant el 2023 és duffinià.

Sí que te 7 l’hexadecimal 7E7.El 2023 es pot posar com la suma dels reversos dels tres primers consecutius 139, 149 iI 151: 2023=931+941+151. Anomenem espai entre dos nombres primers com el número de nombres compostos que hi ha entre dos primers consecutius.

Per exemple, l’espai entre el 7 i l’11 és 3 perquè entre els primers 7 i 11 hi ha tres nombres compostos (8, 9 i 10). Doncs l’enginyer Harvey Dubner, especialista a jugar amb nombres, va conjecturar l’any 1999 que al nombre primer 4840766810958801623463585118756371445427 el segueixen 2023 nombres compostos, és el primer buit més gran que 2000.

Bon any 2023.