La geometria de les cassoles

Avui és diumenge d’Aplec del Caragol a la ciutat de Lleida i els 115 cuiners i cuineres de les colles de ben segur se faran un bon fart de remenar cassoles de tots els tipus, amplàries i fondàries farcides de caragols plans o bovers o altres espècies vegetals i animals susceptibles de ser devorades pels 14.500 collistes previstos.

Aquestes cassoles, estris de cuina tan antics com la mateixa humanitat, tot i haver estat fetes de diferents materials sempre s’han caracteritzat per tenir una forma cilíndrica o troncocònica. Aquesta simetria circular segurament ve causada pel procés artesanal de fabricació de les cassoles amb fang (volum de revolució), per la distribució uniforme de la calor o per la facilitat de ser remenades i netejades ja que aquestes formes no tenen arestes laterals.

Però hi ha un motiu matemàticament interessant que podria explicar aquest fet que les olles i cassoles tinguin la forma que tenen i que es fonamenta en el teorema de Pitàgores. Aquest teorema, potser el més popular de la història de les matemàtiques, ens diu que en un triangle rectangle el valor de la hipotenusa (el costat més llarg) és igual a l’arrel quadrada de la suma dels quadrats dels catets (els altres dos costats).

És a dir, si tenim un triangle de catets 1 i 1, la hipotenusa (el costat llarg) mesura aproximadament 1,41.Imagineu per un moment que una cassola gran tingués una forma prismàtica de base quadrada (com una caixa) i que aquesta cassola mesurés 1 m i 1 m de costats (sense importar-ne la fondària), aleshores la diagonal de la cassola mesuraria 1,41 m. Amb aquesta forma de cassola la tapa hauria de ser quadrada de costats 1 m i 1 m i podria passar que si som una mica sapastres aquesta tapa caigués fàcilment dins de la cassola ja que hem vist que la diagonal mesura 1,41 m que és notablement major (un 41%) que les mides dels costats de la tapa.

En canvi, una tapa rodona no pot caure dins d’un cilindre perquè l’amplada d’una circumferència passant pel seu centre és constant. Això també explicaria per què la majoria de les tapes de les clavegueres són rodones i així s’evita que caiguin pel forat.

Un altre detall a tenir en compte amb les figures de base circular és que la relació entre el radi (o el diàmetre) i la seua àrea no és una relació lineal sinó que segueix una relació que anomenem quadràtica. Les mides comercials de les paelles venen donades pel diàmetre de la part superior (la més ampla) i, per tant, la mida de la base a causa de la seua forma troncocònica és inferior.

Suposem que tenim una paella de base 24 cm de diàmetre o 12 cm de radi, això dona una àrea de la base d’uns 452 cm2. Si decidim que no en tenim prou amb aquesta paella i en comprem una de més gran per si de cas, amb radi de la base 15 cm, aquesta tindria una àrea de 707 cm2.

Amb la nova paella el radi ha augmentat un 25% però l’àrea ho ha fet un 56,4% i això cal tenir-ho en compte per les racions i el temps de cocció.